# 1.5 Incertidumbre en la Medida y cifras significativas. ## 1.5.1 Exactitud y precisión - **Exactitud**: Es el grado de proximidad entre el valor medido y el valor verdadero o aceptado. Una medición es más exacta si se acerca al valor real. - **Precisión**: Es la consistencia de los resultados al repetir la medición. Una medición es precisa si al repetirla varias veces se obtienen resultados similares. ```{figure} _static/exactitud_precision2.jpg :alt: :width: 800px :align: center **Figura:** Casos respecto de la precisión y exactitud en una medida. ``` ## 1.5.2 Errores en la medida: En cualquier medición física, por precisa que sea, **nunca se obtiene el valor verdadero exacto** de una magnitud. Siempre existe una discrepancia entre el valor medido y el valor real. Esta discrepancia se denomina **error**, y su análisis es fundamental para interpretar correctamente los resultados experimentales, evaluar la confiabilidad de los instrumentos utilizados y estimar la calidad de los datos obtenidos. ## 1.5.3 Instrumentos de medición 1. **Instrumentos analógicos** - Tienen una escala graduada - Requieren interpretación visual - **Ejem.** Regla,balanza,termómetros, etc. ```{figure} _static/instrumentos_analogicos.png :alt: Deformacion Volumétrica :width: 700px :align: center :name: fig_instrumentos_analogicos **Figura:** Instrumentos analógicos: (a) Amperímetro de aguja. (b) Balanza de brazo. (c) Termómetro de mercurio ``` 2. **Instrumentos digitales** - Muestran directamente el valor medido en la pantalla. - reducen errores de lectura. ```{figure} _static/fig_instrumentos_digitales.png :alt: Deformacion Volumétrica :width: 700px :align: center :name: fig_instrumentos_digitales **Figura:** Instrumentos digitales: (a) Multimetro. (b) Balanza electrónica. (c) Termómetro infrarojo ``` ## 1.5.4 Tipos de medición 1. **Medición directa** - Se obtiene el valor de la magnitud de forma inmediata desde el instrumento,sin necesidad de aplicar fórmulas o cálculos intermedios. - Para reportar una medición se toma directamente la incertidumbre que proporciona el instrumento. - El tratamiento de la incertidumbre depende del tipo de instrumento: - **Instrumentos Analógicos:** La incertidumbre se toma usualmente como la mitad del valor de la mínima división de la escala. ```{figure} _static/fig_incertidumbre_medidas_directas.png :alt: incertidumbre en mediciones directas :width: 800px :align: center :name: fig_incertidumbre_medicion_directa **Figura:** Reporte de la incertidumbre en mediciones directas con instrumentos analógicos: (a) Probeta milimetrada. (b) Regla milimetrada. ``` - **Instrumentos Digitales:** La incertidumbre se toma como $\pm 1$ en el último digito mostrado por el instrumento, salvo que el fabricante indique otra incertidumbre. ```{figure} _static/fig_incertidumbre_medidas_directas_digitales.png :alt: incertidumbre en mediciones directas instrumentos digitales :width: 800px :align: center :name: fig_incertidumbre_medidas_directas_digitales **Figura:** Reporte de la incertidumbre en mediciones directas con instrumentos digitales: (a) Multímetro digital. (b) Balanza analítica de presición. ``` | Tipo de instrumento | Ejemplo | División mínima | ¿Se estima entre marcas? | Incertidumbre típica | |---------------------|----------------------|-----------------|---------------------------|----------------------------| | Analógico | Regla, vernier manual| 0.1 cm | Sí | ±0.05 cm | | Digital | Multimetro digital | 0.001 V | No | ±0.001 cm | 2. **Medición indirecta** - El valor de la magnitud se obtiene a partir de fórmulas que combinan dos o mas mediciones directas. - Para reportar la incertidumbre de una medición indirecta, se debe propagar la incertidumbre de cada variable medida. - **Ejemplo**: MRU: velocidad ```{math} v&=\frac{d}{t}\\ ``` donde tanto la distancia $d$ como el tiempo $t$ al ser medidas tienen su propia incertidumbre asociada al instrumento: - $d=(d\pm\Delta d)\,\rm m$ - $t=(d\pm\Delta t)\,\rm s$ mientras la velocidad calculad tendrá una incertidumbre $\Delta v$ distinta a $\Delta d$ y $\Delta t$: ```{math} v=(v\pm\Delta v)\,\rm ms^{-1} ``` ## 1.5.5 Tipos de Errores: 1. **Errores Sistemáticos:** - Son errores que se repiten de manera consistente en todas las mediciones bajo las mismas condiciones. - Desplazan todos los resultados en una misma dirección (por exceso o por defecto) - Provienen de causas identificables. ```{figure} _static/fig_errores_sistematicos.png :alt: errores sistematicos :width: 800px :align: center :name: fig_errores_sistematicos Esquematización de los errores sitemáticos en el cálculo de la aceleración de la gravedad. ``` **Fuentes comunes:** - **Instrumentales:** instrumento mal calibrado, desgaste mecánico. - **Ambientales:** temperatura, presión o humedad constantes que afectan la medición. - **Metodológicos:** procedimientos inadecuados o errores de paralaje. > Estos errores pueden reducirse o corregirse mediante calibración, ajustes en el entorno o mejoras en el método. 2. **Errores Aleatorios:** - Surgen de pequeñas variaciones impredecibles en el sistema de medición. - Afectan de forma diferente cada intento de medición, incluso si se repite bajo las mismas condiciones. ```{figure} _static/fig_errores_aleatorios.png :alt: errores aleatorios :width: 800px :align: center :name: fig_errores_aleatorios Esquematización de los errores aleatorios en el cálculo de la aceleración de la gravedad. ``` **Causas posibles:** - Inestabilidad del entorno (vibraciones, corrientes de aire). - Limitaciones de los sentidos humanos. - Ruido electrónico en aparatos digitales. > No pueden eliminarse, pero sí reducirse con un mayor número de mediciones y análisis estadístico. ## 1.5.6 Incertidumbre Absoluta y Relativa Cualquiera que sea el medio por el que hayamos realizado una medición (directa o indirecta), el resultado final deberá ser un intervalo que representa, hasta donde nuestra capacidad lo garantice, los limites dentro de los que se encuentra el valor deseado. - **Error absoluto ($\delta x$):** Corresponde al intervalo en que la lectura es incierta. ```{math} x = x_0 \pm\delta x ``` $\delta x$ es la incertidumbre absoluta, toma como origen la incertidumbre del instrumento o la diferencia de los valores extremos medidos en los que se cree se encuentra el valor real de la medición - **Incertidumbre relativa ($\varepsilon_x$):** Permite comparar la magnitud de la incertidumbre absoluta con el valor medido, se define como el cociente de estos. ```{math} \varepsilon_x = \frac{\delta x}{x_0} ``` - **Error relativo procentual ($\varepsilon_{x\%}$):** Corresponde al error relativo expresado en porcentaje ```{math} \varepsilon_{x\%} = \varepsilon_x\times 100\% ``` ## 1.5.7 Incertidumbre en cantidades calculadas ## 1.5.9 Incertidumbre en funciones de dos o mas variables ### Suma de dos o mas variables ```{math} z=x+y ``` en función de los valores medidos ```{math} (z_0+\delta z)=(x_0+\delta z)+(y_0+\delta z) ``` El valor máximo de $\delta z$ se obtiene escogiendo signos semejantes todo el tiempo. (Suposición pesimista de que el error es el intervalo mas grande) ```{math} z_0=x_0+y_0 ``` se obtiene: ```{math} \delta z=\delta x+\delta y ``` ### Diferencia de dos variables ```{math} z=x-y ``` ```{math} (z_0\pm\delta z)=(x_0\pm\delta z)-(y_0\pm\delta z) ``` tomamos siempre el valor máximo para la incertidumbre por tanto escogemos $(-)$ para $\delta y$ ```{math} z_0=x_0-y_0 ``` se obtiene: ```{math} \delta z=\delta x+\delta y ``` Cuando se miden dos valores muy cercanos y luego se calcula su diferencia, la incertidumbre relativa puede volverse muy grande, afectando la validez del resultado. Esto puede pasar desapercibido y llevar a errores graves. Por ejemplo, no tendría sentido medir la longitud de un cuaderno midiendo desde un punto lejano y restando. Sin embargo, en la práctica, a veces se obtienen diferencias mediante dos mediciones separadas (como con termómetros o relojes), lo cual puede ser problemático. Por eso, toda medición que implique diferencias debe hacerse con especial cuidado. La mejor forma de evitar errores es medir directamente la diferencia, en lugar de calcularla restando dos valores grandes. #### Ejemplo: ### Método general para la incertidumbre en funciones de dos o mas variables El cálculo diferencial puede ofrecer una simplificación considerable a este tratamiento. Es claro que si tenemos: ```{math} z=f(x,y) ``` la cantidad apropiada para calcular $\delta z$ es la diferencial total $dz$, que esta dada por: ```{math} :label: incertidumbre_producto dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy ``` tomaremos esta diferencial y la trataremos como una diferencia finita $\delta z$ la cual se puede calcular a partir de las incertidumbres $\delta x$ y $\delta y$ ```{math} \delta z=\frac{\partial f}{\partial x}\delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\delta y ``` y las derivada $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}$, $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}$ normalmente se calcularán con los valores $x_0$ y $y_0$ para los que se necesita $\delta z$. #### a) Producto de dos o mas variables supongamos que ```{math} z=xy ``` para usar {eq}`incertidumbre_producto` necesitamos los valores de $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}}$, $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}}$, estos son: ```{math} \frac{\partial f}{\partial x}=y,\quad\frac{\partial f}{\partial y}=x ``` por tanto ```{math} \delta z=y\delta x+ x\delta y ``` en funcion de los valores medidos: ```{math} \delta z=y_0\delta x+ x_0\delta y ``` La significación de este resultado se ve con mas claridad cuando se convierte a la incertidumbre relativa ```{math} \frac{\delta z}{z_0}&=\frac{y_0\delta x+ x_0\delta y}{z_0}\\ \frac{\delta z}{z_0}&=\frac{\delta x}{x_0}+ \frac{\delta y}{y_0} ``` Así pues, cuando la cantidad deseada es el producto de dos variables, la incertidumbre relativa es la suma de las incertidumbres relativas de las componentes. ```{math} \varepsilon_z=\varepsilon_x+\varepsilon_y ``` #### b) Producto de dos o mas variables elevadas a una potencia El caso mas general de una función compuesta, que se encuentra muy comunmente en física, implica un producto algebráico que tiene componentes elevadas a diferentes potencias. Sea ```{math} z=x^ay^b ``` don de $a, b$ pueden der valores enteras o fraccionarias. En este caso la formulación se simplifica de manera significativa tomando los logaritmos de ambos lados antes de diferenciar. ```{math} \ln{z}=a\ln{x}+b\ln{y} ``` en donde, diferenciando implícitamente ```{math} z(t), \quad x(t), \quad y(t) ``` ```{math} \frac{d}{dt}\ln{z}&= \frac{d}{dt}(a\ln{x}+b\ln{y})\\ \frac{1}{z} \frac{dz}{dt}&=a \frac{1}{x} \frac{dx}{dt}+b \frac{1}{y} \frac{dy}{dt} ``` se obtiene: ```{math} \frac{dz}{z}=a \frac{dx}{x}+b \frac{dy}{y} ``` como es de costumbre, tomamos las diferenciales como diferencias finitas ```{math} \frac{\delta z}{z}=a \frac{\delta x}{x}+b \frac{\delta y}{y} ``` Nótese que este procedimiento da la incertidumbre relativa de forma directa, lo cual con frecuencia es conveniente ```{math} \varepsilon_z=a\varepsilon_x+b\varepsilon_y ``` ##### EJEMPLO: Calcular la expresión para determinar la incertidumbre relativa para: ```{math} z^2=xy ``` #### c) Cocientes Estos se pueden tratar como productos, en los cuales algunas de las potencias son negativas. Como antes, el valor máximo de $\delta z$ se obtendrá despreciando los signos negativos de la diferencial y combinando todos los términos en forma aditiva. ```{math} z=\frac{x}{y}=xy^{-1} ``` > Para todo otro tipo de funciones, es conveniente diferenciar de forma implícita. ##### EJEMPLO: Consideremos la ecuacion de la distancia focal para lentes delgadas: ```{math} \frac{1}{f}=\frac{1}{o}+ \frac{1}{i} ``` ## 1.5.2 Cifras Significativas Las cifras significativas son los dígitos de un número que aportan información sobre su precisión medida o calculada. Indican cuán confiables son los datos numéricos y nos ayudan a evitar falsas apariencias de exactitud. Las cifras significativas: - Reflejan la precisión del instrumento de medida o del proceso de cálculo. - Evitan errores por exceso de precisión artificial. - Permiten que los resultados sean coherentes con los datos utilizados. - Son esenciales al reportar, redondear y propagar errores. ### Reglas. Las cifras significativas se determinan con base en las siguientes reglas: 1. **Todos los dígitos distintos de cero son significativos.** ```{math} 123,\quad \rm (3\, C.S) ``` 2. **Los ceros entre dígitos significativos también lo son.** ```{math} 1023,\quad \rm (4\, C.S) ``` 3. **Los ceros a la izquierda (antes del primer dígito distinto de cero) no son significativos.** Se usan solo para ubicar el punto decimal. ```{math} 0.0045,\quad \rm (2\, , 4\, y\, 5\, C.S) ``` 4. **Los ceros a la derecha de un número con punto decimal son significativos.** ```{math} 2.300,\quad \rm (4\, C.S) ``` 5. **Los ceros a la derecha de un número entero sin punto decimal pueden no ser significativos.** En este caso, se recomienda utilizar notación científica para evitar ambigüedad. ```{math} 1500,\quad \rm (2\, , 3\, y \, 4\, C.S) ``` ```{math} 1.50\times 10^{3},\quad \rm (3\, C.S) ``` > **Multiplicación / División:** *"El número de cifras significativas del resultado de una multiplicación o división no debe ser mayor que el menor número de cifras significativas de cualesquiera de los factores."* > **Adición / Sustracción:** El resultado de la suma o resta de dos números carece de cifras significativas más allá de la última cifra decimal en que ambos números originales tienen cifras significativa ## 1.5.10 Ejercicios de aplicación 1. Al usar un metro de madera para medir la longitud de mi escritorio. Estoy seguro de que es no menos de $142.3\,\rm cm$ y no más de $142.6$. Enuncie esta medición como un valor central $\pm$ incertidumbre. ¿Cuál es la incertidumbre relativa de la medición? 2. Al leer un voltímetro y un amperímetro de aguja y escala, y evalúo visualmente el margen de incertidumbre. Estoy seguro de que la lectura del amperímetro está entre $1.24$ y $1.25\,\rm A$, y la del voltímetro entre $3.2$ y $3.4\,\rm V$. Exprese cada medida como un valor central incertidumbre, y evalúe la incertidumbre relativa de cada medición. 3. Un reloj digital da una lectura de la hora de $09:46$. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta de la medida? 4. Si se puede leer un metro de madera con una incertidumbre absoluta de $\pm1\,\rm mm$, ¿cuál es la distancia más corta que puedo medir para que la incertidumbre relativa no exceda el - *a)* $1\%$ - **b)** $5\%$ 5. Al usar un termómetro graduado en $1/5$ grado Celsius para medir la temperatura del aire exterior. Medida con una aproximación de $1/5$ de grado, la temperatura de ayer fue de $22.4^\circ$, y la de hoy es de $24.8^\circ$ Celsius. ¿Cuál es la incertidumbre relativa en la diferencia de temperaturas entre ayer y hoy? 6. El reloj del laboratorio tiene un segundero que se mueve por pasos de un segundo. Lo uso para medir un cierto intervalo de tiempo. Al principio del intervalo marcaba las 09:15:22 (horas: minutos:segundos), y al final las 09:18:16. ¿Cuál es la incerti- dumbre relativa del intervalo medido? 7. En el escritorio mencionado en el problema 1, se mide el ancho, y se esta seguro de que la medida cae en $78.2$ y $78.4\, \rm cm $ ¿Cuál es la incertidumbre absoluta en el área calculada de la cubierta del escritorio? 8. Al medir la resistencia de un resistor, la lectura del voltímetro era de $15.2\pm 0.2 V$, y la lectura del amperímetro era de $2.6 \pm 0.1\, \rm A$. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta de la resistencia calculada usando la ecuación? ```{math} R=\frac{V}{I} ``` 9. Un péndulo simple se usa para medir la aceleración de la gravedad, usando: ```{math} T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} ``` El periodo $T$ medido fue de $1.24\pm 0.002\,\rm s$ y la longitud de $0.381\pm0.002\,\rm m$. ¿Cuál es el valor resultante de $g$ con su incertidumbre absoluta y relativa? 10. Un experimento para medir la densidad $\rho$ de un objeto cilíndrico utiliza la ecuación ```{math} \rho=\frac{m}{\pi r^2 l} ``` done: - $m=0.029\pm0.005\,\rm kg$ - $r=8.2\pm0.1\,\rm mm$ - $l=15.4\pm0.1\,\rm mm$ ¿Cuál es la incertidumbre absoluta y relativa del valor calculado de la densidad? 11. La distancia focal, $f$ de un lente delgado se va a medir usando la ecuación ```{math} \frac{1}{f}=\frac{1}{o}+\frac{1}{i} ``` done: - La distancia al objeto $o=0.154\pm0.002\,\rm m$ - Distancia a la imagen $i=0.382\pm0.002\,\rm m$ ¿Cuál es el valor calculado de la distancia focal, su incertidumbre absoluta y su incertidumbre relativa? 12. Una regilla de difracción se usa para medir la longitud de onda de la luz, usando la ecuación ```{math} \lambda=d\sin{\theta} ``` El valor medido de $\theta$ es de $13^\circ 34'\pm 2'$. Suponiendo que el valor de $d=1420\times 10^{-9}\,\rm m$ y que se puede ingnorar su incertidumbre, ¿Cuál es la incertidumbre absoluta y relativa en el valor de $\lambda$?